- 본 게시글은 Gilbert strang 교수님의 Linear Algebra, MIT 정리글입니다.
- 개인적인 공부를 위해 작성한 글이며, 잘못된 내용이 존재할 가능성이 있습니다.
- 잘못된 내용, 오타는 지적해 주시면 감사하겠습니다.
강의링크:
https://www.youtube.com/watch?v=yjBerM5jWsc
이번 강의에서 살펴볼 내용은 다음과 같다.
- Linear independence
- Spanning a Space
- BASIS and dimension
Linear independence
Q. When vectors x_1, x_2, ... , x_n are independent?
만약 어떠한 combination 도 zero vector을 만들지 않는다면 independent하다.
이를 식으로 표현하면 다음과 같다.
이때 모든 C_i가 0이 아니면 되는 것이다.
예를 들어 C_1 ~ C_(n-1)은 0, C_n은 0이 아니어도 괜찮다.
Suppose A is m by n with m < n, then there are non-zero solutions to Ax=0 (more unknown than equations)
Reason: There will be free variables !!
예를 들어, 2x3 matrix가 있다고 하자. 2차원 평면은 서로 독립인 vector 2개만으로 구성가능하다. 이 말은 2x3 matrix에서 나머지 1개 vector는 앞선 vector의 선형 결합으로 만들 수 있다는 의미이고, 이는 dependent함을 의미한다.
그렇기에 Ax=0을 만족하는 non-zero solution이 존재한다.
Repeat when v_1, ..., v_n are columns of A
They are independent if nullspace of A is zero vector: rank=n, N(A)={0}, no free variables
They are dependent if Ac=0 for some non-zero vector C -> rank < n, free variables
Spanning a space
Vectors v_1, ... , v_l span a space의 의미는 뭘까?
The space consists of all combinations of those vectors
BASIS and dimension
Basis for a space is a sequence of vectors v_1,v_2, ... , v_d with two properties
1. They are independent
2. They span the space
R^n에서, n vectors give basis if the nxn matrix with those columns are invertible
3x2 matrix에서 col 1, col 2가 independent 하고, 3차원에서 plane을 span할 수도 있지만 이는 invertible하지 않다.
따라서 invertible 조건이 중요한 거 같다.
또한 basis는 unique하지 않다. invertible한 거는 모두 basis이다.
모든 basis의 공통점은 똑같은 # of vectors 를 지니고 있다는 점이다.
nxn matrix라면 모든 basis들의 # of vectors = n 이다.
그리고 이때 # of vectors는 dimension of the space을 의미한다.
그럼 예제를 통해 위의 개념들을 정리해보자.
space is C(A)
Do they span the column space of matrix A? Yes.
Are they basis for the column space? No.
Are they independet? No.
What's the rank of A? 2.
* rank(A) = # of pivot columns = dimension of C(A), dimenstion of A가 아님!!!
* # free variables = dimension of N(A)
* dim C(A)=r, dim N(A)=n-r
indepedent는 non-zero N(A)를 지니고 있음으로도 확인 가능하다.
N(A)로 [-1 -1 1 0]^T가 가능하다.
제대로 공부하고 다시 수정하자!!! 아직 이해하지 못한 내용이다!!
'공부 정리 > Linear Algebra' 카테고리의 다른 글
| [MIT Linear Algebra] 10. The Four Fundamental Subspaces (0) | 2024.01.17 |
|---|---|
| [MIT Linear Algebra] 8. Solving Ax = b: Row Reduced Form R (0) | 2024.01.15 |
| [MIT Linear Algebra] 7. Solving Ax = 0: Pivot Variables, Special Solutions (1) | 2024.01.15 |
| [MIT Linear Algebra] 6. Column Space and Nullspace (1) | 2024.01.13 |
| [MIT Linear Algebra] 5. Transposes, Permutations, Spaces R^n (2) | 2024.01.11 |
