[MIT Linear Algebra] 6. Column Space and Nullspace

• 본 게시글은 Gilbert strang 교수님의 Linear Algebra, MIT 정리글입니다.
• 개인적인 공부를 위해 작성한 글이며, 잘못된 내용이 존재할 가능성이 있습니다.
• 잘못된 내용, 오타는 지적해 주시면 감사하겠습니다.

강의링크:

https://www.youtube.com/watch?v=8o5Cmfpeo6g

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이번 강의에서 살펴볼 내용은 다음과 같다.

• Vector spaces andsubspaces
• column space of A: solving Ax=b
• Nullspace of A

 

Vector spaces andsubspaces

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Vector space가 되기 위해서는 다음 조건을 만족하여야 한다. 

• v+w and cv are in the space
• all linear combinations cv+dw are in the space

 

Subspace P(plane), L(line)이 있을때 다음 관계가 성립된다.

• P와 L의 합집합은 subspce가 아니다.
• P와 L의 교집합은 subspace이다.

 

이를 일반화하면, 어떠한 subspace S, T의 관계도 위와 동일하다.

• S와 T의 합집합은 subspce가 아니다.
• S와 T의 교집합은 subspace이다.

 

column space of A: solving Ax=b

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다음 Matrix A가 있을 때, A는 Column space of A is subspace of R^4이다.

= all linear combinations of columns C(A)

 

 

그럼 다음 질문을 생각해보자.

Does Ax=b have a solution for every b? No.

왜 no일까?

matrix A로는 R^4에서 R^2의 일정 부분만 담당할 수 있다. (추후 설명)

따라서 만약 그 부분에 위치해 있지 않은 b는 찾을 수 없을 것이다. 

 

그럼 다음 질문에도 답해보자.

which b's allow this system to be solved??

 

b가 모두 0으로 구성된 zero vector이 있을 것이다. 

만약 b가 [1 2 3 4]^T라면 어떨까? 

x가 [1 0 0]^T라면 solution이 될 수 있을 것이다. 마찬가지로

x가 [0 1 0]^T라면 b가 [1 1 1 1]^T일 때 solution이 될 수 있을 것이다.

 

일반화하면 다음과 같다.

Can solve Ax=b exactly when b is in C(A)

vector b가 A의 column space에 존재할 때에만 해를 구할 수 있다는 의미이다.

 

그럼 C(A)는 왜 3이 아니고 2일까?

먼저 다음 질문에 대답해야 한다.  각 column은 independent한가? 즉 새로운 것에 contribute 하는가? 아니다.

col3는 col1+col2로 만들 수 있기에 col3는 col1, col2에 종속적이다.

그리고 이때 col1, col2를 pivot column이라고 한다.

따라서 해당 C(A) = 2로, R^4에서 plane만을 구성한다.

 

Nullspace of A

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Nullsupace(영공간)은 다음과 같다.

Nullspace of A contains all solutions to Ax=0

 

 

Column space에서는 column에 관심이 있었다면, Nullspace에서는 x에 관심을 가진다.

이때 x=[x1 x2 x3]^T는 R^3에 있다.

 

위 예제에서 Nullspace N(A)는 [0 0 0]^T, [1 1 -1]^T을 포함하고 있다.

이를 일반화하면 다음과 같다.

 

 

즉 Nullspace is line in R^3이다.

 

그럼 Nullspace는 vector space일까? 이를 위해 다음 질문을 생각해 보자.

 

Check that solutions to Ax=0 allways give a subspace

if Av=0 and Aw=0, then A(v+w)=Av+Aw=0

즉 v, w가 nullspace일 때 (v+w)도 nullspace이다.

또한 A(cv)=c Av=0이다.

 

따라서 항상 vector space이다...?

 

그럼 Ax=b는 항상 vector space를 만들까? 아니다.

 

 

이때는 X가 [0 0 0]^T가 될 수 없다.

원점을 지나지 않으면 subspace가 될 수 없다.

 

하.. 어렵다.

 

 

같이 읽으면 좋은 자료

https://youtu.be/uQhTuRlWMxw?si=ytnQe7r335ZcG0Fs