[MIT Linear Algebra] 7. Solving Ax = 0: Pivot Variables, Special Solutions

• 본 게시글은 Gilbert strang 교수님의 Linear Algebra, MIT 정리글입니다.
• 개인적인 공부를 위해 작성한 글이며, 잘못된 내용이 존재할 가능성이 있습니다.
• 잘못된 내용, 오타는 지적해 주시면 감사하겠습니다.

강의링크:

https://www.youtube.com/watch?v=VqP2tREMvt0&t=2s

---

이번 강의에서 살펴볼 내용은 다음과 같다.

• Computing the nullspace (Ax=0)
• Pivot variables-free variables
• Special Solution-rref(A)=R

 

 

Computing the nullspace (Ax=0)

---

다음 Matrix A를 사용한다.

 

 

A의 Elimination을 진행하면 다음의 Upper Matrix U를 얻을 수 있다.

우리가 궁금한 것은 Ax=0에서 x를 구하는 것이다.

하지만 Ax=0에서는 x를 계산하기 어렵다.

따라서 U를 활용하여 Ux=0을 통해 x를 찾는다.

 

 

참고로

# of rank = # of pivot variables, r이다. 

 free variabls는 # of columns - # of pivot variables, 즉 n-r개가 존재한다.

예시로 활용한 Matrix A에서는 4-2로 2개가 존재한다.

 

그럼 pivot, free는 뭘까?

col 1, 3는 pivot columns이라한다.

col 2, 4는 free columns이라 한다. 

free라 불리는 이유는,

Ux=0을 찾을때 어떠한 수를 x에 assign해도 상관이 없기때문이다.

 

U를 방정식으로 풀어쓰면 다음과 같다.

 

 

free variables, x_2, x_4에는 어떠한 수를 할당해도 상관이 없다.

하지만 계산 편이성을 위해 (1,0), (0,1)을 할당해본다.

 

먼저 x_2에는 1을, x_4에는 0을 할당해보자.

그럼 back-substitution 통해 x_1, x_3도 찾을 수 있다.

최종적으로 다음과 같은 x를 찾을 수 있다.

그리고 이 x는 Ax=0을 만족한다.

 

 

위 x에 상수배를 곱하면 다음과 같은 x로, 4차원에서의 line을 만들 수 있다.

 

 

그럼 위 x말고 다른 x도 존재할까?

해당 예시에서는 free variables가 2개이기에, 존재한다.

 

free variables에 다른 수를 할당하면 새로운 x vector을 찾을 수 있다.

이번에는x_2에 0을, x_4에 1을 할당해보자.

그럼 다음과 같은 x로 일반화할 수 있다.

 

 

 

 

Special Solution-rref(A)=R

---

위에서 사용한 Matrix U로 reduced echelon form=R을 만들어보자.

R은 pivtot의 위 아래를 0으로 만든다. 또한 각 pivot은 1로 만든다.

 

 

R=rref(A)

Matrix R은 많은 정보를 제공해준다. 

col 2,3의 위치를 변경해보면 다음 Matrix를 얻을 수 있다.

 

 

Matrix를 살펴보면 pivot rows, pivot columns에 2x2 Identity Matrix, I를 확인할 수 있다.

또한 Identity Matrix가 아닌 부분을 F라고 하자.

그럼 다음과 같이 일반화 가능하다.

 

 

그럼 위 R을 바탕으로 계산해보자.

 

 

0을 제외하고 본다면 Rx=0을 다음처럼 볼 수 있다.

참고로 상수배 c,d로 일반화한 예제의 결과와 동일하다.