[MIT Linear Algebra] 3. Multiplication and Inverse Matrices

• 본 게시글은 Gilbert strang 교수님의 Linear Algebra, MIT 정리글입니다.
• 개인적인 공부를 위해 작성한 글이며, 잘못된 내용이 존재할 가능성이 있습니다.
• 잘못된 내용, 오타는 지적해 주시면 감사하겠습니다.

강의링크:

https://www.youtube.com/watch?v=FX4C-JpTFgY

---

이번 강의에서는 살펴볼 내용은 다음과 같다.

• Matrix Multiplication
• Inverse of 
• Gauss-Jordan   

 

Matrix Multiplication

---

행렬 곱에 대한 다양한 시각을 보여준다.

다음과 같은 행 곱을 생각해 보자

 

 

1. summation formula, dot product (행렬 곱을 계산할 때 접근하는 일반적인 방식)

2. Columns of C are combinations of columns of A (여기부터 다른 관점)

3. Rows of C are combinations of rows of B

4. AB = sum of {(cols of A)  x (rows of B)}

 

Inverses

---

if inverse of A exists, 다음 식이 성립힌다.

 

 

그럼 inverse가 존재하지 않는 case를 살펴보자.

 

 

위의 행렬은 inverse가 존재하지 않는다. 왜일까?

그리고 이때 다음과 같은 문장이 성립한다.

"You can find a vector X, with AX = 0"

예를 들어, 다음과 같은 X가 있다고 하자. 이때 X는 0이 아니다.

 

 

하지만 만약 inverse of A가 존재한다면, 다음 식이 성립해야 한다.

 

 

 

하지만 위에서 설정한 X는 0이 아니기에 위 식은 성립할 수 없다.

따라서 inverse of A는 존재하지 않는다.

 

Gauss-Jordan 

---

Gauss-Jordan은 inverse of A를 쉽게 찾도록 도와준다.

예시를 통해 Gauss-Jordan을 살펴본다.

 

다음과 같은 A와 inverse of A가 있다.

 

 

만약 Gauss-Jordan을 사용하지 않는다면, 

a+2c=1, b+2d=0,... 과 같은 4개의 식으로부터 연립방정식을 풀어야 할 것이다.

사이즈가 커질수록 매우 복잡해질 것이다.

 

하지만 Gauss-Jordan을 사용하기 위해,

다음과 같은 Augmented matrix를 만들어보자.

 

 

Augmented matrix의 좌측을 항등행렬로 바꾼다면, 우측이 inverse of A가 된다.

 

 

 

위 식이 성립하는 이유는 이전 시간에 배운 Elimination matrix로 설명할 수 있다.

AI에 Elimination matrix, E로 연산을 진행해 보자.

 

 

위의 식에서 다음과 같은 관계를 알 수 있다.

 

 

확인한 관계를 대입하면, 최종적으로 다음과 같은 식이 성립한다.