[MIT Linear Algebra] 2. Elimination with Matrices

• 본 게시글은 Gilbert strang 교수님의 Linear Algebra, MIT 정리글입니다.
• 개인적인 공부를 위해 작성한 글이며, 잘못된 내용이 존재할 가능성이 있습니다.
• 잘못된 내용, 오타는 지적해 주시면 감사하겠습니다.

강의링크:

https://www.youtube.com/watch?v=QVKj3LADCnA

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이번 강의에서는 살펴볼 내용은 다음과 같다.

• Elimination
• Back-sbustitution
• Elimination matrics
• Matrix multiplication

 

Elimination

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오늘 강의에서는 다음 식을 예시로 살펴본다.

 

 

 

좌측의 Matirx를 우측으로 만드는 과정이 Elimination이다.

 

                                                             

 

1. 1열에서, 1행을 제외하고는 모두 0으로 만든다.

2. 2열에서, 1행, 2행을 제외하고는 모두 0으로 만든다.

3. n열에서, 1~n행을 제외하고는 모두 0으로 만든다.

이때 (n, n)에 위치한 수를 pivot이라고 부른다. 그리고 pivot이 포함된 행은 변하지 않는다.

 

위의 예시에서는 위의 과정을 다음과 같이 수행하였다.

1. Equation 2 - (Equation 1) x 3 = Equation 2'

2. Equation 3 -(Equation 2') x 2 = Equation 3'

 

참고로 zero pivot은 존재하지 않는다.

만약 zero in the pivot position이라면 row exchange를 통해 pivot에 zero가 오지 않도록 만든다.

해당 과정을 진행했음에도 zero가 나온다면 Matrix는 invertible 하다.

 

matrix A에서 진행한 연산과 동일하게 b matirx에도 동일한 연산을 진행한다.

 

 

Back-sbustitution

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Elimination을 통해 처음의 좌측 식은 우측 식으로 표현 가능하다.

 

 

기존 좌측 식으로는 연립방정식을 진행하기 어려웠는데, 우측 식을 사용하면 쉬워진다. 

연립방정식을 푸는 방법은

1. 먼저 z=-2를 얻을 수 있고,

2. 1의 정보를 통해 y=1을,

3. 위 정보를 종합하여 x=2를 얻을 수 있다.

 

Elimination matrics

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지난 강의에서 matrics form을 Combinations of the columns of matrix로 본다고 하였다.

위의 식을 3 x col 1, 4 x col 2, 5 x col 3로 본다는 의미이다.

 

반대로 다음과 같은 식은

 

1 x row 1, 2 x row 2, 7  x row 3로 볼 수 있다.

 

해당 내용을 숙지하고,

위에서 진행한 Elimination 과정에 사용된 matrics를 만들어보면 다음과 같다.

 

  

먼저 우측 matrix를 통해 Equation 2'을 만들고, 좌측 matrix를 통해 최종적으로 Equation 3'을 만든다.

참고로 E_32 (E_21 A) =(  E_32 E_21) A는 동일한 결과를 보인다. 즉 계산 순서에는 상관이 없다는 의미이다.

 

Permutation matrix는 

row exchange를 진행할 때 사용하는 matrix이다. 

예를 들어, 다음과 같은 matrix가 있다.

 

 

row의 순서를 변경하기 위해서는 좌측에 permutation matirx를 사용하면 된다.

만약 column의 순서를 변경하고 싶으면 어떡할까?

 

Elimination matrics의 시작 부분을 살펴보고 돌아오면 힌트를 얻을 수 있다.

 

 

row와 다르게 우측에 permutation matrix를 사용하면 된다.

순서가 매우 중요함을 유의하자.