[MIT Linear Algebra] 1. The Geometry of Linear Equations

• 본 게시글은 Gilbert strang 교수님의 Linear Algebra, MIT 정리글입니다.
• 개인적인 공부를 위해 작성한 글이며, 잘못된 내용이 존재할 가능성이 있습니다.
• 잘못된 내용, 오타는 지적해 주시면 감사하겠습니다.

강의링크:

https://www.youtube.com/watch?v=J7DzL2_Na80&t=1678s

---

 

이번 강의에서는 살펴볼 내용은 다음과 같다.

• Row picture
• Column picture
• Matrix form

 

선형대수를 배우기 전에는 방정식을 다음과 같은 형태로 살펴보았다.

해당 식을 바탕으로 Lecture 1의 내용을 정리한다.

 

 

 

Row picture

---

위 식을 행렬의 형태로 바꾸면 다음과 같다.

선형대수를 접하기 전에는, 흔히 Row picutre의 형태로 접근하였다.

그리고 Row picture은 한 번에 하나의 방정식에 대한 그림을 의미한다.

 

                                                                       

 

두 방정식의 교점 (1,2)를 찾기 위해서는 선형방정식을 직접 풀어야만 했다.

그러나 관점을 Row에서 Column으로 바꾸면 간단해진다.

 

 

Column picture

---

Column picture은 한 번에 하나의 Column에 대한 그림이다. 

기하학적으로도 완전히 다른 형태를 보인다.

 

 

Row picture에서 얻은 교점 (1,2)를 떠올려보자.

x에 1을 대입하고, y에 2를 대입한다는 의미는

벡터 v에 1을 곱하고, 벡터 u에 2를 곱하는 것과 동일하다.

그리고 이때, 해 (0,3)에 도달한다.

 

선형방정식으로 접근하느냐, 혹은 선형 결합으로 접근하느냐에 따라 매우 다른 기하학적인 형태를 보인다.

직관적인 이해를 위해 2차원 예시를 사용하였지만, 3차원 이상에도 적용된다.

 

강의의 마지막 부분에서 다음과 같은 질문을 한다.

"Can I solve Ax = b for every b?"

 

이 질문은 A가 3x3 행렬일 때, 다음과 같다.

"Do the linear Combs. of the columns fill 3-D space?"

 

위에서 사용한 예제에서는 Yes라는 대답이 가능하다.

그리고 이는 추후 살펴볼 Independece와 연관되어 있다.